Materi Fungsi atau Pemetaan Kelas XI

---

Rangkuman Materi Fungsi (Pemetaan) dalam Matematika Kelas XI

---

1. Konsep Dasar Fungsi (Pemetaan)

Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota satu himpunan (disebut domain) dengan tepat satu anggota pada himpunan lainnya (disebut kodomain).

• Himpunan Asal (Domain): Himpunan semua elemen input yang diperbolehkan dalam fungsi. Sering dilambangkan dengan Df​.

• Himpunan Kawan (Kodomain): Himpunan semua elemen output yang mungkin.

• Himpunan Hasil (Range/Daerah Hasil): Himpunan semua elemen output yang benar-benar dihasilkan dari fungsi tersebut. Ini adalah subset dari kodomain. Sering dilambangkan dengan Rf​.

Contoh:

Misalkan fungsi f memetakan himpunan A={1,2,3} ke himpunan B={a,b,c,d} dengan aturan f(x)=huruf ke-x dalam abjad.

• $f(1)=a$

• $f(2)=b$

• f(3)=c

  Maka:

• Domain (Df​) = {1,2,3}

• Kodomain = {a,b,c,d}

• Range (Rf​) = {a,b,c}

Ciri-ciri Fungsi:

1. Setiap anggota domain harus memiliki pasangan.

2. Setiap anggota domain hanya boleh memiliki satu pasangan di kodomain (tidak boleh bercabang).

---

2. Notasi Fungsi

Fungsi biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti f,g,h, dll.

Jika fungsi f memetakan x ke y, maka ditulis:

• $f:x\to y$ (dibaca: "f memetakan x ke y")

• y=f(x) (dibaca: "y adalah fungsi dari x")

  Di mana x adalah variabel bebas (input) dan y adalah variabel terikat (output).

Contoh:

• $f(x)=2x+1$

• $g(x)=x^2-3$

---

3. Jenis-jenis Fungsi (Berdasarkan Sifatnya)

• Fungsi Injektif (Satu-satu):

  • Setiap anggota kodomain hanya memiliki maksimal satu pasangan dari domain.

  • Jika $f(x_1)=f(x_2)$, maka $x_1=x_2$.

  • Grafiknya tidak memotong garis horizontal lebih dari satu kali.

• Fungsi Surjektif (Pada/Onto):

  • Setiap anggota kodomain memiliki minimal satu pasangan dari domain.

  • Range fungsi sama dengan kodomain (Rf​ = Kodomain).

  • Grafiknya mencapai semua nilai pada sumbu y yang ada di kodomain.

• Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu):

  • Merupakan fungsi yang bersifat injektif dan surjektif sekaligus.

  • Setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan di kodomain, dan setiap anggota kodomain memiliki tepat satu pasangan dari domain.

  • Grafiknya hanya memotong garis horizontal tepat satu kali.

  • Fungsi bijektif dapat memiliki fungsi invers.

---

4. Macam-macam Fungsi (Berdasarkan Bentuk Persamaan)

• Fungsi Linear: $f(x)=ax+b$, dengan $a\ne 0$. Grafiknya berupa garis lurus.

• Fungsi Kuadrat: $f(x)=a{x}^2+bx+c$, dengan $a\ne 0$. Grafiknya berupa parabola.

• Fungsi Polinomial (Suku Banyak): $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$.

• Fungsi Rasional: $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, di mana P(x) dan Q(x) adalah fungsi polinomial dan $Q(x)\ne 0$.

• Fungsi Eksponensial: $f(x)=a^x$, dengan $a>0$ dan $a\ne 1$.

• Fungsi Logaritma: $f(x){=}^a\log x$ atau $f(x)=\log x$.

• Fungsi Trigonometri: $f(x)=\sin x$, $f(x)=\cos x$, $f(x)=\tan x$, dll.

---

5. Operasi pada Fungsi

Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi, maka kita dapat melakukan operasi aljabar pada fungsi tersebut:

• Penjumlahan: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

• Pengurangan: $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

• Perkalian: $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

• Pembagian: $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, dengan $g(x)\ne 0$.

---

6. Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan. Hasil dari satu fungsi menjadi input bagi fungsi berikutnya.

• Notasi: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ (dibaca "f bundaran g dari x" atau "f dari g dari x"). Ini berarti fungsi g dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya menjadi input untuk fungsi f.

• Notasi: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ (dibaca "g bundaran f dari x" atau "g dari f dari x"). Ini berarti fungsi f dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya menjadi input untuk fungsi g.

Sifat-sifat Komposisi Fungsi:

• Umumnya tidak komutatif: $(f\circ g)(x)\ne (g\circ f)(x)$.

• Bersifat asosiatif: $((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ (g\circ h))(x)$.

• Terdapat fungsi identitas: $I(x)=x$, sehingga $(f\circ I)(x)=(I\circ f)(x)=f(x)$.

Langkah mencari fungsi komposisi:

1. Substitusikan fungsi kedua ke dalam variabel fungsi pertama.

2. Sederhanakan hasilnya.

---

7. Fungsi Invers

Fungsi invers (fungsi balikan) adalah fungsi yang "membalikkan" operasi dari fungsi asalnya. Jika fungsi f memetakan x ke y, maka fungsi inversnya f−1 akan memetakan y kembali ke x.

• Notasi: f−1(x).

• Syarat: Fungsi harus bijektif agar memiliki invers.

• Langkah mencari invers fungsi $y=f(x)$:

  1. Ganti f(x) dengan y.

  2. Tukar variabel x dan y.

  3. Nyatakan y dalam bentuk x.

  4. Ganti y dengan f−1(x).

Sifat-sifat Fungsi Invers:

• $(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x$.

• $(f\circ g{)}^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)$.

---